Exponenciální růst a pokles

Exponenciální růst resp. exponenciální pokles je matematický model růstu resp. poklesu intenzity nějaké veličiny, který je vyjádřen pomocí exponenciální funkce času se základem vyšším resp. nižším než jedna. Označíme-li modelovanou veličinu v čase ${\displaystyle t}$ jako ${\displaystyle f(t)}$, pak pro ${\displaystyle a>0}$ platí rovnice:

${\displaystyle f(t)=f(0)\cdot a^{t}=f(0)\cdot e^{\lambda t}}$,

kde ${\displaystyle f(0)}$ je úroveň modelované veličiny v čase nula.

Pro ${\displaystyle a>1}$ a ${\displaystyle \lambda =\ln a}$ se dá odvodit, že modelovaná veličina se zdvojnásobí za dobu ${\displaystyle T=\ln 2/\lambda >0}$, tj. např. ${\displaystyle f(T)=f(0)\cdot e^{\ln 2}=2\cdot f(0)}$.

Pro ${\displaystyle a<1}$ a ${\displaystyle \lambda =\ln a}$ se dá odvodit, že modelovaná veličina klesne na polovinu za dobu ${\displaystyle T=-\ln 2/\lambda >0}$, tj. např. ${\displaystyle f(T)=f(0)\cdot e^{-\ln 2}=1/2\cdot f(0)}$.

Rychlost růstu resp. poklesu takto se chovající veličiny je úměrná její okamžité hodnotě; konkrétně platí diferenciální rovnice:

${\displaystyle {f}'(t)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\lambda \cdot f(t)}$.

Exponenciální růst se používá například na modelování prvotní fáze růstu populací bakterií v optimálním prostředí nebo jako základní model ekonomického růstu resp poklesu.

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

• Exponenciální funkce
• Logaritmus