Dihedrální grupa

Dihedrální grupa je pojem z algebry, který označuje grupu shodností pravidelného mnohoúhelníka (otočení a osové souměrnosti). Dihedrální grupy patří mezi jednoduché příklady (nekomutativních) konečných grup a hrají důležitou roli v teorii grup, geometrii a chemii. Diedr znamená doslova dvojstěn, kout.

Pravidelný n-úhelník má celkem 2n různých shodností, které ho zachovávají (tzv. zákrytových pohybů): n otočení a n osových souměrností. Ty tvoří prvky dihedrální grupy ${\displaystyle D_{n}}$. Pro lichá n spojují osy souměrností vždy střed strany s protilehlým vrcholem. Pro sudá n prochází polovina os vždy středy dvou protilehlých stran a druhá polovina os spojuje protilehlé vrcholy. V obou případech je shodností dohromady stejně jako vrcholů. Složením dvou osových souměrnosti je rotace o dvojnásobek úhlu, který tyto osy svírají.

Na následující sérii obrázků jsou všechny možné shodnosti osmiúhelníku, v první řadě otočení a v druhé řadě osové souměrnosti (místo označení vrcholů je za účelem identifikace zobrazení použit obrázek stopky):

Složení dvou shodností pravidelného mnohoúhelníka dává opět shodnost. Toto skládání je grupová operace. Následující Cayleyova tabulka obsahuje všechna možná složení shodností rovnostranného trojúhelníka. R₀ značí neutrální prvek, R₁ a R₂ jsou otočení proti směru hodinových ručiček o 120° a 240° a S₀, S₁ a S₂ jsou osové souměrnosti označené na obrázku nahoře.

Je vidět, že dihedrální grupa D₃ (je to zároveň grupa permutací S₃) už není komutativní, což platí pro všechny indexy kromě 1 a 2.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu dihedrální grupa na Wikimedia Commons