Binetův vzorec (mechanika)

Binetův vzorec je lineární diferenciální rovnice druhého řádu, vyjadřující pohyb tělesa v centrálním poli. Mějme těleso hmotnosti ${\displaystyle m}$, jehož polární souřadnice jsou ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle \varphi }$. Binetův vzorec je rovnice pro inverzní vzdálenost ${\displaystyle u={1 \over r}}$, a má tvar

${\displaystyle {{{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u=-{m \over L^{2}}{{\mbox{d}}V \over {\mbox{d}}u}}}$

kde ${\displaystyle V}$ je potenciál tělesa v centrálním poli, ${\displaystyle L}$ je jeho moment hybnosti (vzhledem k centru síly).

Nalezneme-li funkci ${\displaystyle u(\varphi )}$ řešící Binetův vzorec pro daný potenciál ${\displaystyle V}$, trajektorii tělesa dostaneme opět inverzí, tedy ${\displaystyle r(\varphi )={1 \over u(\varphi )}}$

Důležitým případem je pohyb tělesa v gravitačním poli, tedy v potenciálu

${\displaystyle V(r)=-{\alpha \over r}}$

kde ${\displaystyle \alpha ={GMm}}$ je konstanta. Binetův vzorec má zde tedy tvar

${\displaystyle {{\mbox{d}}^{2}u \over {\mbox{d}}\varphi ^{2}}+u={\alpha m \over L^{2}}}$

To je nehomogenní linearní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty odpovídající lineárnímu harmonickému oscilátoru v tíhovém poli. Její obecné řešení je

${\displaystyle u(\varphi )={\alpha m \over L^{2}}(1+\varepsilon \cos(\varphi -\varphi _{0}))}$

kde ${\displaystyle \varepsilon ,\varphi _{0}}$ jsou integrační konstanty. Konstanta ${\displaystyle \varphi _{0}}$ určuje směr osy dráhy, můžeme ji bez újmy na obecnosti položit rovnou nule.

Převrácená hodnota určuje tvar dráhy

${\displaystyle r(\varphi )={p \over 1+\varepsilon \cos \varphi }}$

kde ${\displaystyle p={L^{2} \over \alpha m}}$. To je rovnice regulární kuželosečky v polárních souřadnicích. Konstanta ${\displaystyle \varepsilon }$ je numerická excentricita a souvisí s celkovou energií tělesa v gravitačním poli (s nulovou hladinou potenciálu v nekonečnu) vztahem

${\displaystyle \varepsilon ^{2}-1={2L^{2}E \over \alpha ^{2}m}}$

Těleso (např. planeta, družice nebo kometa) se tedy v centrálním gravitačním poli pohybuje po

• elipse, je-li ${\displaystyle \varepsilon <1}$
• parabole, je-li ${\displaystyle \varepsilon =1}$ a
• hyperbole, je-li ${\displaystyle \varepsilon >1}$.

První případ platí pro pohyb planet a vyjadřuje tak první Keplerův zákon.