5nadstěn

Pentachoron 5nadstěn 4simplex
Pentachoron
Typ	Pravidelný polychoron
Nadstěn	5 (3.3.3)
Stěn	10 {3}
Hran	10
Vrcholů	5
Schläfliho symbol	{3,3,3}
Grupa symetrie	grupa [3,3,3]
Duální těleso	5nadstěn
Vlastnosti	konvexní

5nadstěn či pentachoron je v geometrii čtyřrozměrnou analogií tetraedru. Jde o konvexní čtyřrozměrné těleso s deseti trojúhelníkovými stěnami. Je jedním z šesti pravidelných nadstěnů a také čtyřrozměrný simplex.

Kartézské souřadnice vrcholů 5nadstěnu o délce hrany 2 jsou:

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

Následující vzorce udávají, jaký je objem 5nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.^[1]

${\displaystyle V_{4D}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\,}$

${\displaystyle S_{3D}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;\ a^{3}\,}$

${\displaystyle S_{2D}={\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\;\ a^{2}\,}$

${\displaystyle S_{1D}=10\ a\,}$

Poloměr vepsané koule je

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\,}$

a poloměr koule opsané je

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\,}$

• pentachoron
• 4simplex

• Obrázky, zvuky či videa k tématu 5nadstěn na Wikimedia Commons
• Model čtyřrozměrného 5nadstěnu